Come minimizzare una funzione non-lineare con vincoli in c#?

Question 1

Vorrei minimizzare la seguente funzione

con i vincoli di

in C#. Ho provato a farlo con Math.Net's Metodo di Newton, ma io non riesco a capire come fare. Come posso ridurre al minimo la funzione a livello di codice in C# per $F_1, F_2$?

Aggiornamento: Dopo il commento di @MinosIllyrien ho provato le seguenti, ma non riesco a capire la sintassi:

_f1 = 0.3; // Global fields.
_f2 = 0.7;

var minimizer = new NewtonMinimizer(1E-4, 100, false);
var objectiveFunction = ObjectiveFunction.ScalarDerivative(FunctionToMinimize, GradientOfFunctionToMinimize);
var firstGuess = CreateVector.DenseOfArray(new[] {0.5});
var minimalWeight1 = minimizer.FindMinimum(objectiveFunction, firstGuess).MinimizingPoint;

private double GradientOfFunctionToMinimize(double w1){
  return _f1 - (w1 * _f2) / Math.Sqrt(1 - Math.Pow(w1, 2));
}

private double FunctionToMinimize(double w1){
  return w1 * _f1 + Math.Sqrt(1 - Math.Pow(w1, 2)) * _f2;
}

Questo non funziona, perché FindMinimum metodo richiede IObjectiveFunction come funzione e non IScalarObjectiveFunction...

Aggiorna 2: Ho cercato una soluzione da Google:

var solver = Solver.CreateSolver("GLOP");
Variable w1 = solver.MakeNumVar(0.0, double.PositiveInfinity, "w1");
Variable w2 = solver.MakeNumVar(0.0, double.PositiveInfinity, "w2");

solver.Add(Math.Sqrt(w1*w1 + w2*w2) == 1);

Questo genera l'errore che *-operatore non può essere utilizzato per la "Variabile" e "Variabile". Qualcuno a qualche idea?

Question 2

w₁2 + w₂2 = 1 è fondamentalmente il cerchio unitario. Il cerchio unitario può anche essere descritto dalla seguente equazione parametrica:

(cos t, sin t)

In altre parole, per ogni coppia (w ₁ , w ₂ ), c'è un angolo di t per cui w ₁ = cos t e w ₂ = sin t.

Con la sostituzione, la funzione diventa:

y = F ₁ cos t + F ₂ peccato t

w ₁ ≥ 0, w ₂ ≥ 0 limita t per un singolo quadrante. Questo ti lascia con un vincolo semplice, che consiste di una singola variabile:

0 ≤ t ≤ ½π

A proposito, la funzione può essere semplificato a:

y = R cos(t - α)

dove R = √(F₁2 + F₂2) e α = atan2(F ₂ , F ₁ )

Questa è una semplice onda sinusoidale. Senza il vincolo di t, il suo intervallo [-R, R], facendo il minimo -R. Ma il vincolo dei limiti di dominio e, di conseguenza, la gamma:

Se F ₁ < 0 e F ₂ < 0, allora il minimo è a w ₁ = - F ₁ / R, w ₂ = - F ₂ / R, con y = -R
Per 0 < F ₁ ≤ F ₂ , un minimo è a w ₁ = 1, w ₂ = 0, con y = F ₁
Per 0 < F ₂ ≤ F ₁ , un minimo è a w ₁ = 0, w ₂ = 1, y = F ₂

Note:

se F ₁ = F ₂ > 0, allora si hanno due minimi.
se F ₁ = F ₂ = 0, allora y è solo flat zero ovunque.

Nel codice:

_f1 = 0.3;
_f2 = 0.7;

if (_f1 == 0.0 && _f2 == 0.0) {
    Console.WriteLine("Constant y = 0 across the entire domain");
}
else if (_f1 < 0.0 && _f2 < 0.0) {
    var R = Math.sqrt(_f1 * _f1 + _f2 * _f2);
    Console.WriteLine($"Minimum y = {-R} at w1 = {-_f1 / R}, w2 = {-_f2 / R}");
}
else {
    if (_f1 <= _f2) {
        Console.WriteLine($"Minimum y = {_f1} at w1 = 1, w2 = 0");
    }
    if (_f1 >= _f2) {
        Console.WriteLine($"Minimum y = {_f2} at w1 = 0, w2 = 1");
    }
}

Ruud Helderman · Answer 1 · 2021-11-26T10:11:03